J'avais cette malette à livrer et c'est tout. — Мне нужно было доставить этот дипломат и (это) всё.

Здесь глагол avoir стоит в прошедшем незаконченном времени Imparfait.

Вот формы спряжения в этом времени: je avais (как в нашем случае) / tu avais / il avait / nous avions / vous aviez / ils avaient.

Если после глагола avoir следует предлог à, то такую комбинацию можно переводить как обязательство к действию
(как в нашем случае: я должна была доставить, мне нужно было доставить…):

j'ai à vous parler — я должен (мне надо, мне нужно) с вами поговорить.

Иногда эта необходимость может быть против желания исполнителя действия, и тогда мы переводим как приходится:

tu auras fort à faire — тебе придётся (тебе нужно будет) потрудиться.

Также эту конструкцию можно переводить как иметь в распоряжении, располагать:

qu'est-ce que vous avez à manger? — что у вас есть поесть? или что можно у вас поесть? /

j'ai à vous proposer une affaire intéressante — я могу предложить вам интересное дело /

j'en aurai long à dire — мне есть что рассказать.