И savoir, и connaître переводятся на русский язык глаголом «знать». В одних случаях они являются синонимами, в других — необходимо сделать выбор между ними. 

Connaître — это иметь знание о существовании чего-либо, умение идентифицировать (распознать) это.

Ближе к глаголу узнавать.

Чаще после connaître следует существительное, а не глагол; 

Знать кого-либо (о людях) — только connaître

Знать номер телефона – принято говорить connaître.

Savoir — это иметь глубокое знание о чем-либо на основе изучения предмета.

Ближе к глаголу уметь.

Чаще после глагола savoir следует глагол.

Глубоко знать – употребляем savoir.

Знать, что + придаточное предложение — только savoir.

Посмотрите на примеры:

Savoir — знать, уметь (что-либо)

1. Знать что-либо, уметь рассказать об этом, повторить это, узнать это:

Savez-vous l'adresse de cet homme ? — Вы знаете адрес этого мужчины ?

2. Быть в курсе чего-либо:

Je sais qu'il voulait partir. — Я знаю, что он хотел уехать.

3. Быть убежденным в чем-либо, иметь уверенность в чем-либо:

Nous savons combien vous le regrettez. — Мы знаем, как вы сожалеете об этом.

4. Иметь знания о чем-либо, о ком-либо:

Je sais bien des choses sur lui. — Я знаю много о нем.

5. Иметь обширные знания о чем-либо, иметь возможность передать эти знания, преподать их:

Savoir plusieurs langues étrangères. Savoir son métier. — Знать несколько иностранных языков. Знать свое дело.

6. Иметь умение (после обучения) осуществлять какую-либо деятельность (= уметь):

Savoir nager. Il ne sait pas jouer aux échecs. — Уметь плавать. Он не умеет играть в шахматы.

7.  Иметь талант, умение делать что-либо (=уметь):

Une femme qui a su rester jeune. —Женщина, которая сумела остаться молодой.

Connaître — знать (кого-либо, что-либо)

1. Уметь идентифицировать кого-либо, что-либо, их узнавать, иметь информацию о них:

Je connais le garçon qui est là-bas. — Я знаю мальчика, который там.

Il connaît bien les champignons. — Он хорошо знает (разбирается в) грибы.

2. Войти в контакт с кем-либо, познакомиться:

Quand et où avez-vous connu Jacques ? — Когда и где вы познакомились с Жаком?

3. Знать о каком-либо месте, знать его месторасположение, его особенности, уметь найти туда дорогу:

Vous connaissez Lyon ? — Вы знаете Лион ?

4. Быть в курсе чего-либо, знать о существовании чего-либо, уметь рассказать об этом:

Connaître l'adresse d'un bon restaurant dans le quartier. — Знать адрес хорошего ресторана.

5. Знать какую-либо науку, технику, язык и т.п.:

Vous connaissez l'anglais ? — Вы знаете английский?

6. Иметь представление о работе какого-либо устройства, иметь опыт:

Vous connaissez bien cette machine, montrez-moi comment elle marche. — Вы хорошо знаете это устройство, покажите мне, как оно работает.

7. Включать в себя что-либо:

Règle qui ne connaît aucune exception. — Правило, которое не имеет (не включает в себя) никаких исключений.